События и их классификация
Испытание (опыт) - осуществление определенного комплекса условий. Событие - любой исход или совокупность исходов испытания. Элементарные исходы образуют пространство элементарных событий Ω.
| Вид события | Определение | Вероятность |
|---|---|---|
| Достоверное | Обязательно происходит в данном испытании | 1 |
| Невозможное | Не может произойти | 0 |
| Случайное | Может произойти или не произойти | от 0 до 1 |
| Несовместные | Не могут произойти одновременно: AB = ∅ | P(AB) = 0 |
| Противоположные | A и Ā несовместны и в сумме образуют достоверное событие | P(Ā) = 1 - P(A) |
| Независимые | Наступление одного не меняет вероятность другого | P(AB) = P(A)·P(B) |
Полная группа событий - набор попарно несовместных событий, одно из которых обязательно произойдет. Сумма их вероятностей равна 1.
Классическое, статистическое и геометрическое определения
Классическая вероятность
Если исходы испытания равновозможны и их конечное число n, а событию A благоприятствуют m исходов, то
P(A) = m / n, причем 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Пример. В урне 5 белых и 3 черных шара. Вероятность вынуть белый шар P = 5/8 = 0,625.
Статистическая и геометрическая вероятность
Относительная частота события W(A) = m / n, где m - число появлений события в n проведенных испытаниях. При большом n относительная частота устойчиво колеблется около вероятности (статистическое определение). Геометрическая вероятность применяется, когда исходы - точки области: P(A) = mes g / mes G, где mes - длина, площадь или объем благоприятной области g и всей области G.
Пример. Точку бросают в квадрат со стороной 2. Вероятность попасть во вписанный круг радиуса 1 равна π·12 / 4 = π/4 ≈ 0,785.
Формулы комбинаторики
Для подсчета m и n в классической схеме используют формулы комбинаторики. Главный вопрос при выборе формулы - важен ли порядок элементов и допускаются ли повторения.
| Соединение | Порядок важен | Формула | Пример |
|---|---|---|---|
| Перестановки | Да, используются все n элементов | Pn = n! | P4 = 24 способа расставить 4 книги |
| Размещения | Да | Ank = n! / (n - k)! | A103 = 720 способов выбрать старосту, заместителя и профорга из 10 человек |
| Сочетания | Нет | Cnk = n! / (k!·(n - k)!) | C103 = 120 способов выбрать 3 дежурных из 10 |
| Размещения с повторениями | Да | nk | 104 = 10000 четырехзначных PIN-кодов |
| Сочетания с повторениями | Нет | Cn+k-1k | Число способов купить 3 пирожных 4 видов: C63 = 20 |
Правило произведения: если объект A можно выбрать m способами, а после этого объект B - k способами, то пару (A, B) можно выбрать m·k способами. Правило суммы: выбор "A или B" из непересекающихся множеств осуществляется m + k способами.
Пример. Из 10 деталей 3 бракованные. Вынимают 4 детали. Вероятность, что среди них ровно 1 бракованная: P = C31·C73 / C104 = 3·35 / 210 = 0,5.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Сложение
- Для несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
- Для совместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).
- Вероятность хотя бы одного из n независимых событий: P = 1 - q1·q2·...·qn, где qi = 1 - pi.
Умножение и условная вероятность
Условная вероятность события B при условии, что событие A произошло: P(B|A) = P(AB) / P(A), P(A) > 0.
- Для зависимых событий: P(AB) = P(A)·P(B|A).
- Для независимых событий: P(AB) = P(A)·P(B).
Пример. Два стрелка попадают с вероятностями 0,8 и 0,7. Вероятность, что попадут оба: 0,8·0,7 = 0,56. Вероятность хотя бы одного попадания: 1 - 0,2·0,3 = 0,94.
Пример на зависимые события. В коробке 4 стандартные и 2 нестандартные детали, берут две подряд без возвращения. Вероятность, что обе стандартные: 4/6 · 3/5 = 0,4.
Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть события H1, H2, ..., Hn (гипотезы) образуют полную группу, а событие A может произойти только вместе с одной из них.
Формула полной вероятности
P(A) = P(H1)·P(A|H1) + P(H2)·P(A|H2) + ... + P(Hn)·P(A|Hn)
Пример. Детали поступают с двух заводов: 60 % с первого (брак 2 %) и 40 % со второго (брак 5 %). Вероятность, что случайная деталь бракованная: P = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
Формула Байеса
Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие A уже произошло:
P(Hi|A) = P(Hi)·P(A|Hi) / P(A), где P(A) находят по формуле полной вероятности.
Продолжение примера. Деталь оказалась бракованной. Вероятность, что она со второго завода: P(H2|A) = 0,020 / 0,032 = 0,625. До опыта эта вероятность была 0,4 (априорная), после - 0,625 (апостериорная).
Повторные испытания: формула Бернулли и приближения
Схема Бернулли: проводится n независимых испытаний, в каждом событие A появляется с одной и той же вероятностью p и не появляется с вероятностью q = 1 - p.
Формула Бернулли
Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз:
Pn(k) = Cnk·pk·qn-k
Пример. Монету бросают 5 раз. Вероятность ровно 3 гербов: C53·0,53·0,52 = 10/32 = 0,3125.
Наивероятнейшее число успехов k0 определяется из неравенства np - q ≤ k0 ≤ np + p.
Приближенные формулы при больших n
| Формула | Условия применения | Вид |
|---|---|---|
| Пуассона | n велико, p мало, λ = np обычно не больше 10 | Pn(k) ≈ λk·e-λ / k! |
| Локальная теорема Муавра - Лапласа | n велико, npq больше примерно 10 | Pn(k) ≈ φ(x) / √(npq), x = (k - np) / √(npq) |
| Интегральная теорема Муавра - Лапласа | То же, для числа успехов в интервале | Pn(k1 ≤ k ≤ k2) ≈ Ф(x2) - Ф(x1) |
Здесь φ(x) - плотность стандартного нормального распределения, Ф(x) - функция Лапласа, значения которых берут из таблиц. Функция Лапласа нечетная: Ф(-x) = -Ф(x).
Случайные величины и их числовые характеристики
Случайная величина - величина, которая в результате испытания принимает одно значение из множества возможных, заранее неизвестно какое. Дискретная случайная величина принимает отдельные (конечное или счетное число) значения и задается рядом распределения. Непрерывная принимает все значения из промежутка и задается функцией распределения F(x) = P(X < x) или плотностью f(x) = F'(x).
Свойства функции распределения и плотности
- 0 ≤ F(x) ≤ 1, F(x) не убывает, F(-∞) = 0, F(+∞) = 1.
- P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).
- f(x) ≥ 0, интеграл от f(x) по всей числовой прямой равен 1.
Математическое ожидание и дисперсия
| Характеристика | Дискретная величина | Непрерывная величина |
|---|---|---|
| Математическое ожидание | M(X) = Σ xipi | M(X) = ∫ x·f(x)dx |
| Дисперсия | D(X) = M(X2) - [M(X)]2 | D(X) = ∫ x2f(x)dx - [M(X)]2 |
| Среднее квадратическое отклонение | σ(X) = √D(X) | σ(X) = √D(X) |
Свойства: M(C) = C; M(CX) = C·M(X); M(X + Y) = M(X) + M(Y); для независимых величин M(XY) = M(X)·M(Y). D(C) = 0; D(CX) = C2·D(X); для независимых величин D(X + Y) = D(X) + D(Y), а также D(X - Y) = D(X) + D(Y).
Пример. X принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3. M(X) = 0,2 + 1,0 + 0,9 = 2,1. M(X2) = 0,2 + 2,0 + 2,7 = 4,9. D(X) = 4,9 - 4,41 = 0,49, σ = 0,7.
Основные законы распределения
| Распределение | Закон | M(X) | D(X) |
|---|---|---|---|
| Биномиальное | P(X = k) = Cnkpkqn-k, k = 0, ..., n | np | npq |
| Пуассона | P(X = k) = λke-λ / k!, k = 0, 1, 2, ... | λ | λ |
| Геометрическое | P(X = k) = qk-1p, k = 1, 2, ... | 1/p | q/p2 |
| Равномерное на [a; b] | f(x) = 1/(b - a) на отрезке, 0 вне его | (a + b)/2 | (b - a)2/12 |
| Показательное | f(x) = λe-λx при x ≥ 0 | 1/λ | 1/λ2 |
| Нормальное N(a; σ) | f(x) = 1/(σ√(2π)) · e-(x-a)2/(2σ2) | a | σ2 |
Для нормального распределения вероятность попадания в интервал: P(α < X < β) = Ф((β - a)/σ) - Ф((α - a)/σ). Правило трех сигм: с вероятностью около 0,9973 значение нормальной случайной величины отклоняется от математического ожидания не более чем на 3σ.
Пример. Рост студентов распределен нормально с a = 175 см и σ = 6 см. Доля студентов ростом от 169 до 181 см: 2Ф(1) ≈ 2·0,3413 = 0,6826, то есть около 68 %.
Закон больших чисел и центральная предельная теорема
Неравенство Чебышева: P(|X - M(X)| < ε) ≥ 1 - D(X)/ε2. Теорема Чебышева утверждает, что среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями сходится по вероятности к среднему их математических ожиданий. Теорема Бернулли - частный случай: относительная частота события сходится по вероятности к его вероятности p. Центральная предельная теорема (Ляпунова) объясняет, почему сумма большого числа независимых слагаемых, каждое из которых мало влияет на сумму, распределена приближенно нормально.
Эти результаты служат мостом к математической статистике, где по выборке оценивают параметры распределения. Подробнее задачи по разделам курса разобраны в шпаргалках по теории вероятности, а продолжение - точечные и интервальные оценки, проверка гипотез - в материале по математической статистике.
Вопросы и ответы по теории вероятностей
Как отличить размещения от сочетаний в задаче?
Нужно проверить, меняется ли результат при перестановке выбранных элементов. Если выбирают должности, места или порядок - это размещения; если просто группу (комиссию, набор деталей) - сочетания.
Когда применять формулу полной вероятности, а когда формулу Байеса?
Формулу полной вероятности применяют, когда нужно найти вероятность события до опыта при нескольких гипотезах. Формулу Байеса - когда событие уже произошло и требуется найти вероятность того, что оно произошло при конкретной гипотезе.
Чем несовместные события отличаются от независимых?
Несовместные события не могут произойти вместе, поэтому P(AB) = 0. Независимые могут происходить вместе, но наступление одного не влияет на вероятность другого: P(AB) = P(A)·P(B). События с ненулевыми вероятностями не могут быть одновременно несовместными и независимыми.
Почему дисперсия не может быть отрицательной?
Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее среднего, а квадрат неотрицателен. Дисперсия равна нулю только у постоянной величины.
Когда вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона?
Когда число испытаний велико, а вероятность успеха в одном испытании мала (редкие события), например доля брака 0,001 в партии из 2000 изделий. Тогда λ = np = 2 и расчет по формуле Пуассона проще и достаточно точен.