Производные и интегралы: таблица и правила

Определение производной и ее смысл

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки x₀. Дадим аргументу приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀). Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x₀) = lim_Δx→0 Δy / Δx = lim_Δx→0 (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx, если этот предел существует и конечен.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцируемая функция обязательно непрерывна, но обратное неверно: функция y = |x| непрерывна в нуле, однако производной там не имеет, потому что левый и правый пределы отношения равны -1 и 1.

Геометрический и физический смысл

• Геометрический смысл: f'(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке (x₀; f(x₀)), то есть тангенсу угла наклона касательной к оси Ox.
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).
• Уравнение нормали: y = f(x₀) - (x - x₀) / f'(x₀) при f'(x₀) ≠ 0.
• Физический смысл: если s(t) - закон движения точки, то s'(t) - мгновенная скорость, а s''(t) - ускорение.
• Экономический смысл: производная функции издержек - предельные издержки, производная функции выручки - предельная выручка.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции называют главную линейную часть приращения: dy = f'(x)dx. Отсюда следует запись производной в виде отношения дифференциалов f'(x) = dy/dx. Дифференциал используют для приближенных вычислений: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx.

Правила дифференцирования

Ниже u = u(x) и v = v(x) - дифференцируемые функции, C - постоянная. Эти правила выводятся прямо из определения производной и свойств пределов.

Логарифмическое дифференцирование

Для функций вида y = u(x)^v(x) (показательно-степенных) и громоздких произведений удобно сначала прологарифмировать: ln y = v ln u. После дифференцирования обеих частей получаем y'/y = v' ln u + v u'/u, откуда y' = u^v(v' ln u + v u'/u). Например, для y = x^x имеем y' = x^x(ln x + 1).

Неявно заданная функция

Если зависимость задана уравнением F(x, y) = 0, дифференцируют обе части по x, считая y функцией от x, и выражают y'. Например, из x² + y² = R² получаем 2x + 2yy' = 0, то есть y' = -x/y.

Таблица производных элементарных функций

Таблицу нужно знать наизусть. Справа для каждой функции дана форма для сложного аргумента u = u(x): ее получают по правилу дифференцирования сложной функции, умножая на u'.

Производные высших порядков

Вторая производная - это производная от первой: f''(x) = (f'(x))'. Аналогично определяется производная n-го порядка f⁽ⁿ⁾(x). Полезно помнить: (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x, (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + πn/2), (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x + πn/2), (x^m)⁽ⁿ⁾ = m(m-1)...(m-n+1)x^m-n. Для n-й производной произведения применяют формулу Лейбница: (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ C_n^k u^(n-k) v^(k).

Примеры на дифференцирование

1. y = x³ sin x. По правилу произведения y' = 3x² sin x + x³ cos x.
2. y = ln(x² + 1). Сложная функция, u = x² + 1: y' = 2x / (x² + 1).
3. y = e^{sin 2x}. Цепочка из трех звеньев: y' = e^{sin 2x} · cos 2x · 2.
4. y = (x - 1) / (x + 1). По правилу частного y' = ((x + 1) - (x - 1)) / (x + 1)² = 2 / (x + 1)².
5. y = arctg √x. y' = 1 / (1 + x) · 1 / (2√x) = 1 / (2√x (1 + x)).

Типичные ошибки студентов: забывают умножить на производную внутренней функции, путают знак в производной cos x и arccos x, применяют правило "производная произведения равна произведению производных", которого не существует.

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для f(x) на промежутке, если F'(x) = f(x) во всех точках этого промежутка. Если F(x) - первообразная, то любая другая первообразная имеет вид F(x) + C. Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:

∫ f(x) dx = F(x) + C, где f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, C - произвольная постоянная.

Любая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную. При этом не каждая первообразная выражается через элементарные функции: интегралы ∫ e^-x2 dx, ∫ sin x / x dx, ∫ dx / ln x называют "неберущимися".

Свойства неопределенного интеграла

• (∫ f(x) dx)' = f(x), d(∫ f(x) dx) = f(x)dx.
• ∫ dF(x) = F(x) + C.
• ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx при k ≠ 0.
• ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
• Если ∫ f(x) dx = F(x) + C, то ∫ f(kx + b) dx = (1/k) F(kx + b) + C - правило линейной подстановки.

Таблица основных интегралов

Правильность любой строки проверяется дифференцированием правой части. Во всех формулах подразумевается "+ C".

Две формулы с ln (для ∫ dx / (x² - a²) и для ∫ dx / √(x² ± a²)) в учебниках называют "высоким логарифмом" и "длинным логарифмом". Их чаще всего забывают на экзамене.

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Подынтегральную функцию тождественными преобразованиями приводят к сумме табличных. Пример: ∫ (x² + 1)² / x dx = ∫ (x³ + 2x + 1/x) dx = x⁴/4 + x² + ln |x| + C.

Подведение под знак дифференциала

Используют то, что f'(x)dx = d(f(x)). Полезные соотношения: dx = d(x + b) = (1/k) d(kx), x dx = (1/2) d(x²), cos x dx = d(sin x), dx/x = d(ln x), e^xdx = d(e^x). Пример: ∫ sin³ x cos x dx = ∫ sin³ x d(sin x) = sin⁴ x / 4 + C.

Замена переменной

Полагают x = φ(t) или t = ψ(x), тогда ∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t)) φ'(t) dt. После интегрирования возвращаются к старой переменной. Пример: ∫ x √(x - 1) dx, замена t = √(x - 1), x = t² + 1, dx = 2t dt. Получаем ∫ (t² + 1) t · 2t dt = 2t⁵/5 + 2t³/3 + C, где t = √(x - 1).

Стандартные тригонометрические подстановки: для √(a² - x²) берут x = a sin t, для √(a² + x²) берут x = a tg t, для √(x² - a²) берут x = a / cos t. Для рациональных функций от sin x и cos x применяют универсальную подстановку t = tg (x/2), при которой sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 - t²)/(1 + t²), dx = 2dt/(1 + t²).

Интегрирование по частям

Формула: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Она следует из правила дифференцирования произведения. За u выбирают ту часть, которая упрощается при дифференцировании.

• ∫ P(x) e^kx dx, ∫ P(x) sin kx dx, ∫ P(x) cos kx dx: u = P(x) (многочлен).
• ∫ P(x) ln x dx, ∫ P(x) arctg x dx, ∫ P(x) arcsin x dx: u = ln x, arctg x, arcsin x.
• ∫ e^ax sin bx dx и ∫ e^ax cos bx dx: формулу применяют дважды и получают уравнение относительно искомого интеграла ("циклический" интеграл).

Пример: ∫ x e^x dx. Берем u = x, dv = e^xdx, тогда du = dx, v = e^x. Результат: x e^x - ∫ e^x dx = e^x(x - 1) + C.

Интегрирование рациональных дробей

Неправильную дробь сначала делят "уголком" и выделяют целую часть. Правильную дробь раскладывают на простейшие: A/(x - a), A/(x - a)^k, (Mx + N)/(x² + px + q) с отрицательным дискриминантом знаменателя. Коэффициенты находят методом неопределенных коэффициентов или подстановкой корней. Пример: 1/(x² - 1) = (1/2)(1/(x - 1) - 1/(x + 1)), поэтому интеграл равен (1/2) ln |(x - 1)/(x + 1)| + C.

Определенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] - это предел интегральных сумм Σ f(ξ_i)Δx_i при стремлении к нулю наибольшей длины частичного отрезка, если этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точек ξ_i. Для непрерывной неотрицательной функции он равен площади криволинейной трапеции под графиком.

Формула Ньютона - Лейбница: если f(x) непрерывна на [a; b] и F(x) - любая ее первообразная, то

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Формула связывает дифференциальное и интегральное исчисление и сводит вычисление определенного интеграла к поиску первообразной. Ее доказательство опирается на теорему Барроу: производная интеграла с переменным верхним пределом Φ(x) = ∫_a^x f(t) dt равна f(x).

Свойства определенного интеграла

• ∫_a^a f(x) dx = 0; ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx.
• Аддитивность: ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b.
• Для нечетной функции ∫_-a^a f(x) dx = 0, для четной - 2∫₀^a f(x) dx.
• Теорема о среднем: ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b - a) для некоторой точки c из [a; b].
• При замене переменной в определенном интеграле меняют пределы и к старой переменной не возвращаются.
• По частям: ∫_a^b u dv = uv|_a^b - ∫_a^b v du.

Примеры вычисления

1. ∫₀^π sin x dx = -cos x |₀^π = -cos π + cos 0 = 2.
2. ∫₁^e ln x dx: по частям u = ln x, dv = dx. Получаем x ln x |₁^e - ∫₁^e dx = e - (e - 1) = 1.
3. Площадь фигуры между y = x² и y = x: точки пересечения 0 и 1, S = ∫₀¹ (x - x²) dx = 1/2 - 1/3 = 1/6.

Геометрические приложения

Для подготовки к смежным разделам пригодятся материалы по линейной алгебре, а также шпаргалки по теории вероятностей, где интегралы нужны для работы с плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вопросы и ответы по производным и интегралам

Чем отличается неопределенный интеграл от определенного?

Неопределенный интеграл - это множество функций F(x) + C, первообразных для f(x). Определенный интеграл - это число, равное пределу интегральных сумм на отрезке [a; b]. Связь между ними задает формула Ньютона - Лейбница.

Зачем в неопределенном интеграле пишут постоянную C?

Производная постоянной равна нулю, поэтому у функции бесконечно много первообразных, отличающихся на константу. Без C ответ считается неполным, и на экзамене за это снижают оценку.

Как проверить, что интеграл найден верно?

Продифференцировать полученный ответ. Если производная совпала с подынтегральной функцией, интеграл вычислен правильно. Это самая быстрая самопроверка на контрольной.

Как выбрать u в формуле интегрирования по частям?

За u берут функцию, которая упрощается при дифференцировании: логарифм, обратные тригонометрические функции, многочлен. За dv берут то, что легко интегрируется: e^x, sin x, cos x, xⁿ.

Почему в формуле ∫ dx/x стоит модуль?

Функция 1/x определена и при x < 0, а ln x - только при x > 0. Функция ln |x| имеет производную 1/x на обоих промежутках, поэтому модуль обязателен.

Всегда ли существует производная непрерывной функции?

Нет. Непрерывность - необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости. Пример - y = |x| в точке 0 или y = ∛x в нуле, где касательная вертикальна и производная бесконечна.