Понятие линейного пространства
Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество 
, в котором определены "сумма" 
любых двух элементов 
и 
и "произведение" 
любого элемента на любое число 
.
План решения.
Пусть, задано некоторое множество 
, элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле 
, под которым подразумевается поле комплексных чисел 
либо поле вещественных чисел 
. Элементы 
будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества 
- греческими малыми буквами.
Определение. Пара 
называется линейным пространством, если (
) задан закон, по которому любой паре векторов 
сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом 
, причем для любых 
выполнено: (
) 
; (
) 
; (
) для любого 
существует нуль-вектор 
, что 
; (
) для любого существует противоположный вектор 
, что 
; (
) задан закон, по которому для любого и любого числа 
сопоставлен вектор , называемый произведением числа 
на вектор , причем выполнено: (
) 
; (
) 
; (
) 
; (
) 
.
Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.
1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в 
, т.е. верно ли, что 
и 
?
Если нет, то множество 
не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.
2. Находим нулевой элемент 
такой, что 
.
Если такого элемента не существует, то множество 
не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.
3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент 
такой, что
.
4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. 
и 
:
Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество - линейное пространство.
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и 
и произведение любого элемента на любое число 
?
Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма 
, произведение 
.
Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.
Проверим выполнение аксиом линейного пространства.
Аксиомы группы 
:
: 
- выполняется;
: 
- выполняется;
: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. 
;
: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор 
, т.к. 
.
Аксиомы группы 
:
: 
- выполняется;
: 
- выполняется;
: 
- выполняется;
: 
- выполняется.
Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой 
и произведением 
является линейным пространством.
Линейная зависимость векторов
Постановка задачи. Исследовать на линейную зависимость систему векторов 
, 
, 
.
План решения.
Определение. Система векторов 
называется линейно-зависимой, если существуют такие числа 
, среди которых хотя бы одно не равно нулю, что выполнено
.
Теорема. Для того, чтобы система, состоящая из трех векторов, была линейно-зависимой, необходимо и достаточно, чтобы тройка векторов была компланарной.
1. Составляем смешанное произведение векторов:
.
2. Если определитель в правой части равенства равен нулю, то данная система векторов линейно зависима; если же определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы.
Замечание. Если необходимо исследовать на линейную зависимость систему функций 
, то необходимо составить определитель Вронского
.
Если данный определитель равен нулю, то система функций линейно зависима.
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
Пример 1.
Составляем определитель из координат данных векторов:
.
Так определитель не равен нулю, то данная система векторов линейно независима.
Пример 2.
на 
.
Составим определитель Вронского:
Т.е. данная система функций линейно зависима.
Системы линейных однородных уравнений
Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
План решения.
1. Записываем матрицу системы:
и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:
.
Размерность пространства решений равна 
. Если 
, то однородная система имеет единственное нулевое решение, если 
, то система имеет бесчисленное множество решений.
2. Выбираем 
базисных и 
свободных переменных. Свободные переменные обозначаем 
. Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.
3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.
Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:
1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;
2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;
3. перестановка строк местами;
4. преобразования 1-3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:
Полагаем 
, тогда
Базис:
.
Размерность линейного пространства решений равна 3.
Преобразование координат вектора
Постановка задачи. Вектор 
в базисе 
имеет координаты 
. Найти координаты вектора 
в базисе 
, где
План решения.
Переход от первого базиса ко второму задается матрицей:
.
Переход от второго базиса к первому задается обратной матрицей 
.
Переход от координат вектора относительно первого базиса к координатам этого же вектора относительно второго базиса осуществляется так же с помощью матрицы 
.
1. Выписываем матрицу перехода:
.
2. Находим обратную матрицу .
3. Координаты искомого вектора находим по формуле:
,
где 
и 
- столбцы координат вектора 
в базисах и .
Задача 4. Найти координаты вектора в базисе 
, если он задан в базисе 
.
Переход от первого базиса 
ко второму задается матрицей
.
Найдем обратную матрицу. Вычисляем определитель:
.
Находим алгебраические дополнения.
;
;
.
Обратная матрица:
.
Тогда
.
Значит, координаты вектора 
в базисе будут
.
Линейные операторы
Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства 
задан произвольный вектор 
. Является ли линейным оператор 
такой, что
,
где 
- некоторые функции 
переменных.
План решения.
При линейном преобразовании координаты получившегося вектора 
будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Т.е. если в функциях 
присутствуют нелинейные слагаемые или среди слагаемых есть свободный член, то преобразование 
не является линейным.
Задача 5. Пусть 
. Являются ли линейными следующие преобразования.
Здесь линейным преобразованием будет только преобразование 
, т.к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Матрица линейного оператора 
:
Действия с операторами и их матрицами
Постановка задачи. В некотором базисе трехмерного пространства заданы линейные преобразования
где 
- произвольный вектор.
Найти координаты вектора 
, где 
- многочлен относительно операторов 
и 
.
План решения.
Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число - умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу 
, где 
и 
- матрицы операторов и . Затем столбец координат вектора находим по формуле 
, где - столбец координат вектора .
1. Выписываем матрицы операторов и :
.
2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц находим матрицу :
.
3. Находим столбец координат образа вектора :
.
Откуда 
.
Задача 6. Пусть 
, 
, 
. Найти
.
Матрицы операторов и :
.
Находим:
.
.
Таким образом 
.
Преобразование матрицы оператора
Постановка задачи. Найти матрицу некоторого оператора в базисе , где
если в базисе его матрица имеет вид
.
План решения.
При переходе от базиса к базису матрица оператора преобразуется по формуле
,
где 
- матрица перехода от базиса к базису .
1. Выписываем матрицу перехода:
.
2. Находим обратную матрицу .
3. Находим матрицу оператора в базисе по формуле
.
Задача 7. Найти матрицу в базисе 
, где
,
если она задана в базисе 
.
.
Матрица в базисе 
находится по формуле
.
где
.
Найдем обратную матрицу .
Определитель:
.
Алгебраические дополнения:
;
;
.
Обратная матрица:
.
Находим матрицу в новом базисе:
Т.е. матрица в базисе 
имеет вид:
.
Матрица, образ, ядро оператора
Постановка задачи. Задан оператор , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов 
. Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора .
План решения.
1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что 
и 
и 
.
2. Строим матрицу оператора .
3. Находим образ и ядро оператора .
Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость 
.
Если , то 
.
Оператор является линейным, если
и 
.
Проверяем
.
Т.е. оператор является линейным.
Его матрица:
.
Область значений оператора - это множество всех векторов
.
Ядро линейного оператора - это множество всех векторов, которые отображает в нуль-вектор:
.
Собственные значения и собственные векторы оператора
Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного в некотором базисе матрицей
.
План решения.
Собственные значения оператора являются корнями его характеристического уравнения 
.
1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни 
(среди которых могут быть и кратные).
2. Для каждого собственного значения находим собственные вектора. Для этого записываем однородную систему уравнений
и находим ее общее решение.
3. Исходя из общих решений каждой из однородных систем, выписываем собственные векторы .
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:
.
Собственные значения: 
.
Найдем собственные вектора:
: 
: 
Собственные вектора:
.
Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа
Постановка задачи. Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом Лагранжа.
План решения.
Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов. Не ограничивая общности рассуждений, полагаем, что 
.
где 
- квадратичная форма, в которую входят лишь переменные 
.
Делаем замену
,
после которой
,
где 
.
Предложенный алгоритм применяем к 
и после конечного числа шагов приходим к каноническому виду квадратичной формы:
.
Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
.
Применяя метод Лагранжа, получаем:
где 
.
Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование
к каноническому виду ортогональным преобразованием.
План решения.
Теорема. Любую квадратичную форму
ортогональным преобразованием всегда можно привести к следующему каноническому виду:
,
где 
- корни характеристического уравнения , встречающиеся столько раз, какова их кратность.
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Матрица квадратичной формы:
.
Найдем характеристический полином матрицы квадратичной формы:
Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:
.
