Гидравлика: основные формулы и законы

Физические свойства жидкости

Жидкость - сплошная среда, обладающая текучестью, то есть способностью неограниченно деформироваться под действием сколь угодно малых касательных сил. Капельные жидкости практически несжимаемы, газы сжимаемы; в гидравлике изучают главным образом капельные жидкости.

Вязкость и закон Ньютона для жидкостного трения

Касательное напряжение между слоями движущейся жидкости пропорционально градиенту скорости: τ = μ · du/dy. Жидкости, подчиняющиеся этому закону, называют ньютоновскими (вода, масла, бензин). Вязкость капельных жидкостей с ростом температуры уменьшается, а газов - увеличивается. Внесистемная единица кинематической вязкости - стокс: 1 Ст = 10^-4 м²/с, 1 сСт = 10^-6 м²/с. Вязкость определяют вискозиметрами, в том числе в условных градусах Энглера.

Другие свойства, важные для задач: поверхностное натяжение (капиллярный подъем h = 4σ/(ρgd)), давление насыщенных паров, растворимость газов. Если давление в потоке падает до давления насыщенных паров, возникает кавитация - образование и схлопывание паровых пузырьков, разрушающее лопасти насосов и стенки труб.

Гидростатика и основное уравнение

Гидростатическое давление - напряжение сжатия в точке покоящейся жидкости: p = lim ΔF/ΔS. Свойства гидростатического давления:

1. Давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую действует.
2. В любой точке давление одинаково по всем направлениям и зависит только от координат точки.

Основное уравнение гидростатики:

p = p₀ + ρgh, где p₀ - давление на свободной поверхности, h - глубина погружения точки.

Другая форма: z + p/(ρg) = const, то есть гидростатический напор одинаков для всех точек покоящейся жидкости. Здесь z - геометрическая высота (геометрический напор), p/(ρg) - пьезометрическая высота.

Виды давления

• Абсолютное p_абс отсчитывается от абсолютного нуля.
• Избыточное (манометрическое): p_изб = p_абс - p_ат, измеряется манометром.
• Вакуум: p_вак = p_ат - p_абс, если абсолютное давление меньше атмосферного; измеряется вакуумметром.
• Нормальное атмосферное давление 101 325 Па; техническая атмосфера 1 кгс/см² = 98 100 Па соответствует 10 м водяного столба.

Сила давления на плоскую стенку

Сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на давление в ее центре тяжести: F = (p₀ + ρgh_c)S. Точка приложения силы избыточного давления (центр давления) лежит ниже центра тяжести: y_D = y_C + I_C/(y_CS), где I_C - момент инерции площади относительно горизонтальной оси через центр тяжести, y_C - расстояние до центра тяжести вдоль стенки от линии уреза. Для прямоугольного щита высотой h, верхний край которого на уровне воды, центр давления расположен на глубине 2h/3.

Сила давления на криволинейную поверхность находится по составляющим: горизонтальная равна силе давления на вертикальную проекцию поверхности, вертикальная равна весу жидкости в "теле давления".

Закон Паскаля и закон Архимеда

Закон Паскаля

Давление, приложенное к поверхности покоящейся жидкости, передается во все точки жидкости без изменения. Это следует из основного уравнения: изменение p₀ одинаково изменяет давление во всех точках.

На законе Паскаля основаны гидравлический пресс, домкрат, тормозная система автомобиля и объемный гидропривод. Для пресса с поршнями площадью S₁ и S₂: F₂ = F₁ · S₂/S₁. Выигрыш в силе сопровождается равным проигрышем в перемещении: S₁h₁ = S₂h₂. Принципы работы гидроприводов разобраны в шпаргалке по гидравлике и гидроприводам.

Закон Архимеда

На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости в объеме погруженной части тела: F_A = ρgV_погр.

• Тело тонет, если сила тяжести больше архимедовой силы (ρ_тела > ρ_ж).
• Тело плавает в погруженном состоянии при равенстве сил.
• Тело всплывает и плавает на поверхности, если ρ_тела < ρ_ж; тогда вес тела равен весу вытесненной жидкости (водоизмещение).

Остойчивость плавающего тела определяется положением метацентра: равновесие устойчиво, если метацентр лежит выше центра тяжести, то есть метацентрическая высота положительна.

Кинематика потока и уравнение неразрывности

Основные понятия: линия тока - линия, в каждой точке которой вектор скорости касателен к ней; элементарная струйка - совокупность линий тока, проходящих через малый замкнутый контур; живое сечение - поверхность, перпендикулярная линиям тока. Движение бывает установившимся (параметры не зависят от времени) и неустановившимся, равномерным и неравномерным, напорным и безнапорным.

Гидравлические элементы потока

• Площадь живого сечения S, м².
• Смоченный периметр χ - длина контура сечения, по которому жидкость соприкасается со стенками.
• Гидравлический радиус R = S/χ; для круглой трубы, заполненной полностью, R = d/4.
• Объемный расход Q = vS, м³/с; массовый расход Q_m = ρQ, кг/с.
• Средняя скорость v = Q/S.

Уравнение неразрывности

Для установившегося движения несжимаемой жидкости расход во всех сечениях потока одинаков:

Q = v₁S₁ = v₂S₂ = const, откуда v₁/v₂ = S₂/S₁.

Скорости обратно пропорциональны площадям сечений: при уменьшении диаметра трубы вдвое скорость увеличивается в четыре раза. Уравнение выражает закон сохранения массы. Для сжимаемой среды записывают ρ₁v₁S₁ = ρ₂v₂S₂.

Уравнение Бернулли

Для элементарной струйки идеальной жидкости

z + p/(ρg) + u²/(2g) = H = const

Энергетический смысл уравнения Бернулли: для идеальной жидкости полная удельная механическая энергия вдоль струйки сохраняется, может лишь переходить из одного вида в другой. Если скорость возрастает, давление падает: этим объясняется работа пульверизатора, эжектора, подъемная сила крыла.

Для потока реальной жидкости

z₁ + p₁/(ρg) + α₁v₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + α₂v₂²/(2g) + h_1-2

• h_1-2 - потери напора между сечениями 1 и 2 на преодоление сопротивлений;
• α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей: для ламинарного режима в трубе α = 2, для турбулентного α ≈ 1,05-1,1 (в задачах часто принимают 1);
• сечения выбирают в зонах плавно изменяющегося движения, плоскость сравнения z = 0 - горизонтальная, обычно через ось трубы или нижнее сечение.

Графически изменение напоров вдоль потока изображают напорной линией (всегда понижается из-за потерь) и пьезометрической линией (может как понижаться, так и повышаться). Уклон напорной линии называют гидравлическим уклоном: i = h/l.

Приборы на основе уравнения Бернулли

• Трубка Пито измеряет местную скорость по разности полного и пьезометрического напоров: u = √(2gΔh).
• Расходомер Вентури: по перепаду пьезометрических высот Δh в широком и узком сечениях Q = μS₂√(2gΔh / (1 - (S₂/S₁)²)).

Режимы течения и число Рейнольдса

О. Рейнольдс в 1883 году экспериментально установил существование двух режимов движения жидкости.

• Ламинарный - слоистое течение без перемешивания частиц, пульсации скорости отсутствуют.
• Турбулентный - вихревое течение с интенсивным перемешиванием и пульсациями скорости и давления.

Критерий режима - безразмерное число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости:

Re = vd/ν = ρvd/μ; для некруглых сечений вместо d подставляют эквивалентный диаметр d_э = 4R.

Если число Рейнольдса вычислять по гидравлическому радиусу (Re = vR/ν), критическое значение около 575-580. При ламинарном течении в круглой трубе скорости распределены по параболе (закон Пуазейля), максимальная скорость на оси вдвое больше средней. Расход по формуле Пуазейля: Q = πd⁴Δp / (128μl).

Потери напора и формула Дарси - Вейсбаха

Полные потери напора складываются из потерь по длине и местных потерь: h_w = h_l + Σh_м.

Потери по длине

Формула Дарси - Вейсбаха: h_l = λ · (l/d) · v²/(2g), потеря давления Δp = ρgh_l.

λ - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси). Он зависит от режима течения и относительной шероховатости Δ/d, где Δ - эквивалентная шероховатость стенок.

В ламинарном режиме потери пропорциональны скорости в первой степени, в квадратичной зоне - квадрату скорости. Связь зон наглядно показывают графики Никурадзе и Мурина.

Местные потери

Формула Вейсбаха: h_м = ζ · v²/(2g), где ζ - коэффициент местного сопротивления. При внезапном расширении потерю определяют по теореме Борда: h_вр = (v₁ - v₂)²/(2g). Ориентировочные значения ζ: вход в трубу с острыми кромками 0,5, выход из трубы в резервуар 1,0, плавный поворот на 90° около 0,15-0,3, полностью открытая задвижка около 0,1-0,15, обратный клапан 1,7-5.

Пример расчета потерь

Условие. По стальной гидравлически гладкой трубе d = 50 мм, l = 100 м подается вода с расходом Q = 2 л/с, ν = 10^-6 м²/с. Найти потери напора по длине.

1. Площадь сечения S = πd²/4 = 0,00196 м²; скорость v = Q/S = 0,002/0,00196 ≈ 1,02 м/с.
2. Re = vd/ν = 1,02 · 0,05 / 10^-6 ≈ 50 900 - режим турбулентный.
3. По Блазиусу λ = 0,3164 / 50 900^0,25 ≈ 0,0211.
4. Скоростной напор v²/(2g) = 1,04/19,62 ≈ 0,053 м.
5. h_l = 0,0211 · (100/0,05) · 0,053 ≈ 2,23 м; потеря давления Δp = 1000 · 9,81 · 2,23 ≈ 21,9 кПа.

Истечение жидкости через отверстия и насадки

При истечении через малое отверстие в тонкой стенке струя сжимается: коэффициент сжатия ε = S_с/S, где S_с - площадь сжатого сечения.

• Теоретическая скорость (формула Торричелли): v_т = √(2gH).
• Действительная скорость: v = φ√(2gH), φ - коэффициент скорости.
• Расход: Q = μS√(2gH), где μ = εφ - коэффициент расхода.
• H - напор над центром отверстия; если давления над жидкостью и в среде истечения различны, используют приведенный напор H = H_геом + (p₁ - p₂)/(ρg).

Внешний цилиндрический насадок пропускает примерно на треть больший расход, чем отверстие того же диаметра, потому что в сжатом сечении внутри насадка образуется вакуум, около 0,75H. Нормальная длина насадка составляет 3-4 диаметра; при напоре выше примерно 14 м вакуум приводит к срыву режима.

Время опорожнения призматического резервуара площадью Ω через донное отверстие при переменном напоре: t = 2Ω√H / (μS√(2g)). Это вдвое больше времени истечения того же объема при постоянном напоре H.

Гидравлический удар

Гидравлический удар - резкое повышение (или понижение) давления в напорном трубопроводе при быстром изменении скорости течения, например при мгновенном закрытии задвижки или внезапной остановке насоса. Теорию явления разработал Н. Е. Жуковский в 1898 году.

Формула Жуковского

Повышение давления при прямом ударе (полная остановка потока): Δp = ρcv₀, где v₀ - скорость до закрытия, c - скорость распространения ударной волны.

Скорость ударной волны в упругой трубе: c = c₀ / √(1 + Kd/(Eδ)), где c₀ = √(K/ρ) ≈ 1425 м/с - скорость звука в воде, K - модуль упругости жидкости, E - модуль упругости материала трубы (сталь около 2 · 10¹¹ Па), d - диаметр, δ - толщина стенки.

• Фаза удара T = 2l/c - время пробега волны до резервуара и обратно.
• Прямой удар - время закрытия t_з < T, давление растет на полную величину ρcv₀.
• Непрямой удар - t_з > T, повышение меньше: Δp ≈ ρcv₀ · T/t_з.

Пример. Стальная труба d = 200 мм, δ = 10 мм, l = 500 м, скорость воды 1,5 м/с, K = 2,1 · 10⁹ Па. Скорость волны c = 1425 / √(1 + 2,1 · 10⁹ · 0,2 / (2 · 10¹¹ · 0,01)) ≈ 1295 м/с. Повышение давления Δp = 1000 · 1295 · 1,5 ≈ 1,94 МПа, то есть почти 20 атмосфер. Фаза удара T = 2 · 500 / 1295 ≈ 0,77 с, поэтому закрывать задвижку нужно существенно дольше этого времени.

Способы защиты: медленное закрытие запорной арматуры, установка предохранительных и обратных клапанов, воздушных колпаков, уравнительных резервуаров, гасителей удара, снижение скорости течения за счет увеличения диаметра труб. Явление используется и полезно - в гидравлическом таране для подъема воды. Расчет напорных трубопроводов насосных установок продолжается в шпаргалках по нагнетательным машинам, а сборник ответов на экзаменационные билеты есть в материале ответы к экзаменам по гидравлике.

Вопросы и ответы по формулам гидравлики

Что показывает число Рейнольдса?

Отношение сил инерции к силам вязкого трения в потоке. При малых Re преобладает вязкость и течение ламинарное, при больших - инерция и течение турбулентное. Для круглых труб граница принимается равной 2300.

Чем уравнение Бернулли для реальной жидкости отличается от уравнения для идеальной?

В него добавлены потери напора h_1-2 между сечениями и коэффициенты Кориолиса α, учитывающие неравномерность скоростей по сечению. Полный напор вдоль потока реальной жидкости всегда уменьшается.

Почему насадок увеличивает расход по сравнению с отверстием?

В насадке струя сначала сжимается, а затем расширяется и заполняет все сечение на выходе. В зоне сжатия образуется вакуум, который подсасывает жидкость и увеличивает действующий напор, поэтому μ насадка (0,82) больше, чем у отверстия (0,62).

От чего зависит коэффициент гидравлического трения λ?

В ламинарном режиме - только от числа Рейнольдса. В турбулентном - от Re и относительной шероховатости Δ/d, а в квадратичной зоне - только от шероховатости.

Как уменьшить силу гидравлического удара?

Увеличить время закрытия задвижки сверх фазы удара, снизить скорость течения, установить воздушные колпаки, предохранительные клапаны или уравнительные резервуары. Все эти меры уменьшают скорость изменения расхода или поглощают энергию волны.

Чем абсолютное давление отличается от избыточного?

Абсолютное давление отсчитывается от нуля, избыточное - от атмосферного давления. Манометр показывает избыточное давление, поэтому для получения абсолютного к его показанию прибавляют атмосферное.