Предмет логики и логическая форма
Основатель логики как науки - Аристотель (сборник трудов "Органон"). Логика изучает не психологический процесс мышления, а его логическую форму - способ связи элементов мысли. Суждения "Все металлы электропроводны" и "Все юристы - выпускники вузов" различны по содержанию, но имеют одну форму: "Все S есть P".
Мысль может быть истинной или ложной по содержанию и правильной или неправильной по форме. Логика отвечает за правильность: при правильной форме и истинных посылках вывод всегда истинен. Основные формы мышления - понятие, суждение и умозаключение; доказательство и гипотеза строятся на их основе.
Четыре основных закона логики
Первые три закона сформулировал Аристотель, четвертый - Г. Лейбниц. Нарушение любого из них делает рассуждение неправильным.
| Закон | Формулировка | Формула | Требование к мышлению |
|---|---|---|---|
| Тождества | Всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественна самой себе | A есть A (a → a) | Определенность |
| Противоречия (непротиворечия) | Два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными | ¬(a ∧ ¬a) | Непротиворечивость |
| Исключенного третьего | Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, третьего не дано | a ∨ ¬a | Последовательность |
| Достаточного основания | Всякая истинная мысль должна быть обоснована другими мыслями, истинность которых доказана | a истинно, так как есть b, из которого следует a | Обоснованность |
Типичные нарушения законов
- Закон тождества: подмена понятия или тезиса, употребление омонимов в разных значениях ("Материя вечна. Сукно - материя. Значит, сукно вечно").
- Закон противоречия: утверждать в одном отношении и в одно время, что свидетель видел подсудимого и не видел его. Закон не нарушается, если речь идет о разных временах или разных отношениях.
- Закон исключенного третьего: уклонение от ответа "да" или "нет" там, где возможны только две альтернативы. Закон действует только для противоречащих (контрадикторных) суждений, а не для противных.
- Закон достаточного основания: необоснованные выводы, ссылка на слухи, вывод "после этого - значит, вследствие этого".
Понятие: содержание, объем, виды
Понятие - форма мышления, отражающая предметы в их общих и существенных признаках. Языковая оболочка понятия - слово или словосочетание.
- Содержание понятия - совокупность существенных признаков предмета.
- Объем понятия - совокупность предметов, обладающих этими признаками.
Закон обратного отношения: чем шире содержание, тем уже объем, и наоборот. Отсюда две операции: обобщение (переход к более широкому понятию через отбрасывание признаков: "береза" → "дерево" → "растение") и ограничение (обратный переход через добавление признаков). Предел обобщения - категории, предел ограничения - единичное понятие.
Виды понятий
| Основание деления | Виды | Пример |
|---|---|---|
| По объему | Пустые (нулевые) и непустые; единичные и общие; регистрирующие и нерегистрирующие | "Вечный двигатель" - пустое; "Москва" - единичное; "студент" - общее |
| По содержанию | Конкретные и абстрактные | "Книга" - конкретное; "смелость" - абстрактное |
| По наличию признака | Положительные и отрицательные | "Грамотный" и "неграмотный" |
| По наличию отношения | Безотносительные и соотносительные | "Дом" и "родитель - ребенок" |
| По характеру элементов | Собирательные и несобирательные | "Созвездие", "полк" - собирательные |
Отношения между понятиями и круги Эйлера
Отношения изображают кругами Эйлера. Сначала понятия делят на сравнимые (имеют общие признаки) и несравнимые ("квадрат" и "закон"). Сравнимые бывают совместимыми и несовместимыми.
| Тип | Отношение | Определение | Пример |
|---|---|---|---|
| Совместимые | Равнозначность (тождество) | Объемы полностью совпадают | "Равносторонний треугольник" и "равноугольный треугольник" |
| Совместимые | Пересечение (перекрещивание) | Объемы частично совпадают | "Студент" и "спортсмен" |
| Совместимые | Подчинение (субординация) | Объем одного полностью входит в объем другого | "Юрист" и "адвокат" |
| Несовместимые | Соподчинение | Несколько видов одного рода, не пересекающихся между собой | "Береза" и "дуб" в объеме "дерево" |
| Несовместимые | Противоположность (контрарность) | Крайние виды рода, между ними есть промежуточные | "Белый" и "черный" |
| Несовместимые | Противоречие (контрадикторность) | Одно понятие отрицает другое, вместе исчерпывают род | "Белый" и "небелый" |
Определение и деление понятий
Самый распространенный вид определения - через ближайший род и видовое отличие: "Квадрат - это прямоугольник (род) с равными сторонами (видовое отличие)". Правила определения: соразмерность (объемы определяемого и определяющего равны), отсутствие круга ("логика - наука о логическом"), ясность, по возможности не отрицательное.
Деление раскрывает объем понятия. Правила деления: соразмерность, одно основание, члены деления исключают друг друга, непрерывность (без скачков). Ошибки: неполное деление, деление с лишними членами, подмена основания ("книги бывают научные, художественные и в твердом переплете").
Суждение: виды и структура
Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах; оно всегда либо истинно, либо ложно. Языковая форма - повествовательное предложение. Структура простого категорического суждения: субъект (S), предикат (P), связка ("есть", "не есть") и квантор ("все", "некоторые").
Объединенная классификация по количеству и качеству
| Тип | Схема | Пример | Распределенность S | Распределенность P |
|---|---|---|---|---|
| A - общеутвердительное | Все S есть P | Все адвокаты - юристы | Распределен | Не распределен |
| E - общеотрицательное | Ни одно S не есть P | Ни один кит не рыба | Распределен | Распределен |
| I - частноутвердительное | Некоторые S есть P | Некоторые студенты - отличники | Не распределен | Не распределен |
| O - частноотрицательное | Некоторые S не есть P | Некоторые грибы несъедобны | Не распределен | Распределен |
Термин распределен, если в суждении он взят в полном объеме. Мнемоника: буквы A и I взяты из латинского affirmo (утверждаю), E и O - из nego (отрицаю). Правило для запоминания: субъект распределен в общих суждениях, предикат распределен в отрицательных (в утвердительных - только если объемы S и P совпадают).
Сложные суждения и логические союзы
| Вид | Союз | Обозначение | Когда истинно |
|---|---|---|---|
| Конъюнкция | "и" | a ∧ b | Только когда истинны оба |
| Нестрогая дизъюнкция | "или" (соединительно-разделительное) | a ∨ b | Когда истинно хотя бы одно |
| Строгая дизъюнкция | "либо... либо" | a ⊻ b | Когда истинно ровно одно |
| Импликация | "если... то" | a → b | Во всех случаях, кроме: a истинно, b ложно |
| Эквиваленция | "тогда и только тогда, когда" | a ↔ b | Когда a и b одинаковы по значению |
| Отрицание | "неверно, что" | ¬a | Когда a ложно |
Модальность суждений: ассерторические (констатируют факт), проблематические (возможность: "возможно, S есть P") и аподиктические (необходимость).
Логический квадрат
Логический квадрат (квадрат оппозиций) показывает отношения по истинности между суждениями A, E, I, O с одинаковыми терминами. В вершинах стоят: A - верхний левый угол, E - верхний правый, I - нижний левый, O - нижний правый.
| Отношение | Между какими суждениями | Правило истинности |
|---|---|---|
| Противоречие (контрадикторность) | A - O, E - I (диагонали) | Одно истинно, другое обязательно ложно; не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными |
| Противоположность (контрарность) | A - E (верхняя сторона) | Не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными |
| Подпротивоположность (субконтрарность) | I - O (нижняя сторона) | Не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными |
| Подчинение (субалтерность) | A - I, E - O (боковые стороны) | Из истинности общего следует истинность частного; из ложности частного следует ложность общего; в остальных случаях значение неопределенно |
Пример работы с квадратом: если истинно "Все студенты сдали сессию" (A), то ложно "Некоторые студенты не сдали сессию" (O), ложно "Ни один студент не сдал" (E) и истинно "Некоторые студенты сдали" (I).
Непосредственные умозаключения
Умозаключение - форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений (посылок) выводится новое суждение (заключение). Непосредственные умозаключения делаются из одной посылки.
- Превращение - меняется качество суждения, предикат заменяется противоречащим: "Все металлы электропроводны" → "Ни один металл не является неэлектропроводным".
- Обращение - S и P меняются местами. A обращается с ограничением ("Все адвокаты - юристы" → "Некоторые юристы - адвокаты"), E и I обращаются чисто, O не обращается.
- Противопоставление предикату - последовательно применяются превращение и обращение.
- Умозаключения по логическому квадрату - вывод об истинности одного суждения из истинности другого.
Категорический силлогизм
Простой категорический силлогизм - дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится третье. В нем три термина:
- меньший термин (S) - субъект заключения;
- больший термин (P) - предикат заключения;
- средний термин (M) - входит в обе посылки, но отсутствует в заключении.
Все люди смертны (M - P). Сократ - человек (S - M). Следовательно, Сократ смертен (S - P).
Фигуры силлогизма
| Фигура | Положение M | Схема посылок | Правильные модусы (примеры) |
|---|---|---|---|
| I | Субъект в большей, предикат в меньшей | M - P, S - M | Barbara (AAA), Celarent (EAE), Darii (AII), Ferio (EIO) |
| II | Предикат в обеих посылках | P - M, S - M | Cesare (EAE), Camestres (AEE), Festino (EIO), Baroco (AOO) |
| III | Субъект в обеих посылках | M - P, M - S | Darapti (AAI), Disamis (IAI), Datisi (AII), Felapton (EAO) и др. |
| IV | Предикат в большей, субъект в меньшей | P - M, M - S | Bramantip (AAI), Camenes (AEE), Dimaris (IAI) и др. |
Специальные правила фигур: в первой фигуре большая посылка общая, меньшая утвердительная; во второй - большая посылка общая и одна из посылок отрицательная; в третьей - меньшая посылка утвердительная, заключение частное.
Общие правила силлогизма
- В силлогизме должно быть только три термина (нарушение - учетверение терминов).
- Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок.
- Термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении (ошибка расширения большего или меньшего термина).
- Хотя бы одна посылка должна быть утвердительной: из двух отрицательных вывод невозможен.
- Если одна посылка отрицательная, заключение тоже отрицательное.
- Хотя бы одна посылка должна быть общей: из двух частных вывод не следует.
- Если одна посылка частная, заключение тоже частное.
Сокращенные и сложные силлогизмы
Энтимема - силлогизм с пропущенной посылкой или заключением ("Он юрист, так как окончил юрфак"). Эпихейрема - силлогизм, обе посылки которого являются энтимемами. Сорит - цепь силлогизмов с пропущенными промежуточными заключениями.
Условные и разделительные умозаключения
| Модус | Схема | Статус |
|---|---|---|
| Утверждающий (modus ponens) | Если a, то b; a; следовательно, b | Правильный |
| Отрицающий (modus tollens) | Если a, то b; не b; следовательно, не a | Правильный |
| Утверждение следствия | Если a, то b; b; следовательно, a | Неправильный, вывод лишь вероятен |
| Отрицание основания | Если a, то b; не a; следовательно, не b | Неправильный |
Разделительно-категорическое умозаключение имеет два модуса: утверждающе-отрицающий (работает только при строгой дизъюнкции) и отрицающе-утверждающий. Дилемма - условно-разделительное умозаключение с двумя альтернативами, бывает конструктивной и деструктивной, простой и сложной.
Индукция и аналогия
Индукция - умозаключение от частного к общему. Полная индукция рассматривает все элементы класса и дает достоверный вывод; неполная - часть элементов и дает вероятный вывод. Виды неполной индукции: популярная (через простое перечисление) и научная. Ошибка популярной индукции - поспешное обобщение.
Методы установления причинных связей Бэкона - Милля: метод единственного сходства, единственного различия, соединенный метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков.
Аналогия - вывод о сходстве предметов в одном признаке на основании их сходства в других признаках. Различают аналогию свойств и аналогию отношений; вывод всегда вероятен и тем надежнее, чем больше существенных общих признаков.
Доказательство, опровержение и логические ошибки
Структура доказательства: тезис (что доказывается), аргументы (чем доказывается), демонстрация (способ связи аргументов с тезисом). Доказательство бывает прямым и косвенным (апагогическим, от противного, разделительным). Опровержение направлено на тезис, аргументы или демонстрацию.
| Группа ошибок | Ошибка | Суть |
|---|---|---|
| В отношении тезиса | Подмена тезиса | Доказывается не то, что заявлено |
| В отношении тезиса | Довод к человеку (ad hominem) | Вместо тезиса обсуждается личность оппонента |
| В отношении аргументов | Ложное основание | В качестве аргумента берется ложное суждение |
| В отношении аргументов | Предвосхищение основания | Аргумент сам нуждается в доказательстве |
| В отношении аргументов | Круг в доказательстве | Тезис доказывается аргументом, который выводится из самого тезиса |
| В демонстрации | Мнимое следование (non sequitur) | Тезис не вытекает из аргументов |
| В демонстрации | После этого, значит, по причине этого | Временная последовательность принимается за причинную связь |
Логику применяют в практических дисциплинах - см. материал логика управления и обзор методы научных исследований, где подробно разобраны индукция, дедукция и гипотеза в науке.
Вопросы и ответы по логике
Чем противоположные понятия отличаются от противоречащих?
Противоположные понятия являются крайними видами одного рода, между ними возможны промежуточные ("белый" и "черный"). Противоречащие понятия делят род полностью: одно отрицает другое, третьего нет ("белый" и "небелый").
Почему из двух частных посылок нельзя сделать вывод?
Если обе посылки частноутвердительные (I и I), средний термин не распределен ни разу. Если одна из них частноотрицательная (I и O), распределен только предикат O, и одного распределенного термина не хватает сразу для среднего термина и для предиката отрицательного заключения. Если обе посылки отрицательные (O и O), вывод запрещен правилом об отрицательных посылках.
Как определить распределенность термина в суждении?
Субъект распределен в общих суждениях (A и E), предикат - в отрицательных (E и O). В частных утвердительных суждениях не распределен ни один из терминов, кроме случаев совпадения объемов S и P.
Какие суждения связаны законом исключенного третьего?
Только противоречащие: A и O, E и I, а также суждение и его отрицание. Для противных суждений A и E закон не действует, так как оба могут оказаться ложными.
Что такое учетверение терминов?
Это ошибка силлогизма, когда один и тот же по звучанию термин употреблен в двух разных значениях, так что фактически терминов становится четыре. Классический пример: "Движение вечно. Хождение в институт - движение. Значит, хождение в институт вечно".