Законы Ома и Кирхгофа: шпаргалка по электротехнике

Основные величины электрической цепи

Электрическая цепь - совокупность устройств, образующих путь для электрического тока, процессы в которых описываются понятиями ЭДС, тока и напряжения. Элементы цепи делят на источники (генераторы, аккумуляторы) и приемники (резисторы, двигатели, лампы), а также соединительные провода и коммутационную аппаратуру.

Сопротивление проводника: R = ρl/S, где ρ - удельное сопротивление материала (для меди около 0,0175 Ом·мм²/м, для алюминия около 0,028 Ом·мм²/м), l - длина, S - площадь сечения. Зависимость от температуры для металлов: R_t = R₀(1 + α(t - t₀)), где α - температурный коэффициент сопротивления (для меди около 0,004 1/°C).

Топология цепи

• Ветвь - участок цепи, по всем элементам которого протекает один и тот же ток.
• Узел - точка соединения трех и более ветвей.
• Контур - любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.
• Независимый контур - контур, содержащий хотя бы одну ветвь, не входящую в другие выбранные контуры. Для плоской схемы независимыми удобно брать ячейки (окна) схемы.

Закон Ома для участка цепи

Формулировка: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на концах участка и обратно пропорциональна его сопротивлению.

I = U / R, отсюда U = IR и R = U/I.

Закон установлен Г. Омом в 1826 году. Он справедлив для линейных элементов, у которых сопротивление не зависит от тока и напряжения: вольт-амперная характеристика таких элементов - прямая линия через начало координат. Для нелинейных элементов (диоды, лампы накаливания, варисторы) закон Ома в простой форме неприменим, их рассчитывают графически или по статическому и дифференциальному сопротивлению.

Закон Ома для участка с ЭДС

Для активного участка цепи, содержащего источник ЭДС, применяют обобщенный закон Ома:

I = (φ_a - φ_b ± E) / R = (U_ab ± E) / R.

ЭДС берется со знаком "плюс", если ее направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком "минус", если не совпадает. Эта формула используется при расчете токов ветвей после нахождения узловых потенциалов.

Закон Ома в дифференциальной форме

Плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля: j = γE, где γ = 1/ρ - удельная проводимость. Эту форму используют в теории поля и при анализе распределения тока в проводниках.

Закон Ома для полной цепи

Формулировка: сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи, равному сумме внешнего сопротивления и внутреннего сопротивления источника.

I = E / (R + r), где r - внутреннее сопротивление источника.

Напряжение на зажимах источника: U = E - Ir. Оно меньше ЭДС на величину падения напряжения внутри источника.

• Режим холостого хода (R → ∞): I = 0, U = E. Так ЭДС измеряют вольтметром с большим внутренним сопротивлением.
• Режим короткого замыкания (R = 0): I_кз = E/r, U = 0. Ток максимален, источник может выйти из строя.
• Согласованный режим (R = r): во внешней цепи выделяется максимальная мощность P_max = E²/(4r), КПД при этом равен 50 %.

КПД источника: η = U/E = R/(R + r).

Последовательное и параллельное соединение

При параллельном соединении эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сопротивлений ветвей. Смешанное соединение рассчитывают поэтапным "сворачиванием" схемы от наиболее удаленного от источника участка. Если схему не удается свернуть, применяют преобразование треугольника в звезду: R₁ = R₁₂R₃₁ / (R₁₂ + R₂₃ + R₃₁) и аналогично для остальных лучей. Подробнее о типах и маркировке резисторов - в шпаргалке по резисторам.

Работа и мощность электрического тока

• Работа тока: A = UIt.
• Мощность приемника: P = UI = I²R = U²/R.
• Мощность источника: P_и = EI.
• Закон Джоуля - Ленца: количество теплоты Q = I²Rt.
• Единица учета энергии на практике - киловатт-час: 1 кВт·ч = 3,6 МДж.

Баланс мощностей - следствие закона сохранения энергии: сумма мощностей, отдаваемых источниками, равна сумме мощностей, потребляемых приемниками: ΣE_kI_k = ΣI_k²R_k. Произведение EI берется со знаком "минус", если ток через источник направлен против его ЭДС: такой источник работает в режиме потребителя, например заряжаемый аккумулятор. Баланс мощностей - обязательная проверка правильности расчета в экзаменационной задаче.

Законы Кирхгофа

Законы сформулировал Г. Кирхгоф в 1845 году. Они справедливы для любых цепей с сосредоточенными параметрами, в том числе нелинейных и цепей переменного тока (для мгновенных значений и для комплексных величин).

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю: ΣI = 0. Эквивалентная формулировка: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Закон выражает сохранение электрического заряда: в узле заряд не накапливается.

Правило знаков: токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (например, "плюс"), а от узла - с противоположным. Число независимых уравнений по первому закону равно n_у - 1, где n_у - число узлов.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах контура: ΣE = ΣIR. Закон выражает потенциальный характер электростатического поля: при обходе замкнутого контура изменение потенциала равно нулю.

Правило знаков: выбирают направление обхода контура. ЭДС берут со знаком "плюс", если ее направление совпадает с направлением обхода; падение напряжения IR берут со знаком "плюс", если ток ветви совпадает с направлением обхода.

Число независимых уравнений по второму закону: n_в - n_у + 1, где n_в - число ветвей (ветви с идеальными источниками тока при этом исключают). В сумме оба закона дают n_в уравнений - ровно столько, сколько неизвестных токов.

Алгоритм расчета по законам Кирхгофа

1. Определить число ветвей, узлов и независимых контуров.
2. Произвольно выбрать направления токов во всех ветвях.
3. Составить n_у - 1 уравнений по первому закону.
4. Выбрать независимые контуры и направления обхода, составить уравнения по второму закону.
5. Решить систему. Отрицательный ток означает, что его действительное направление противоположно выбранному.
6. Проверить решение по балансу мощностей.

Метод контурных токов

Метод позволяет сократить число уравнений до числа независимых контуров. Предполагается, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I₁₁, I₂₂, ... Действительный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь.

Система уравнений для двух контуров в канонической форме:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ = E₁₁
R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ = E₂₂

• R_kk - собственное сопротивление контура, сумма всех сопротивлений контура, всегда положительно.
• R_km - общее (взаимное) сопротивление контуров k и m. Берется со знаком "минус", если контурные токи проходят через общую ветвь навстречу друг другу (при одинаковом направлении обхода всех контуров это и происходит).
• E_kk - контурная ЭДС, алгебраическая сумма ЭДС контура с учетом направления контурного тока.

Если в схеме есть идеальный источник тока, контур выбирают так, чтобы через источник тока проходил только один контурный ток, который тогда равен току источника и становится известным.

Метод узловых потенциалов

Потенциал одного узла (базисного) принимают равным нулю, для остальных составляют n_у - 1 уравнений. Метод выгоден, когда узлов меньше, чем независимых контуров.

Уравнение для узла 1 в схеме с тремя узлами (узел 3 заземлен):

G₁₁φ₁ - G₁₂φ₂ = J₁₁
-G₂₁φ₁ + G₂₂φ₂ = J₂₂

• G_kk - собственная проводимость узла, сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле.
• G_km - сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, входит со знаком "минус".
• J_kk - узловой ток: алгебраическая сумма произведений E·G ветвей, примыкающих к узлу, плюс токи источников тока. Слагаемое положительно, если ЭДС или источник тока направлены к узлу.

Метод двух узлов

Частный случай для схемы из нескольких параллельных ветвей между двумя узлами: U_ab = ΣE_kG_k / ΣG_k. Затем ток каждой ветви находят по обобщенному закону Ома.

Пример расчета разветвленной цепи

Условие. Цепь имеет два узла (a - верхний, b - нижний) и три параллельные ветви. Ветвь 1: источник E₁ = 12 В и резистор R₁ = 2 Ом, ЭДС направлена к узлу a. Ветвь 2: E₂ = 6 В и R₂ = 3 Ом, ЭДС также направлена к узлу a. Ветвь 3: резистор нагрузки R₃ = 6 Ом. Внутренние сопротивления источников учтены в R₁ и R₂. Найти токи ветвей и проверить баланс мощностей.

Решение методом двух узлов

Проводимости: G₁ = 0,5 См, G₂ = 1/3 См, G₃ = 1/6 См, их сумма равна 1 См.

U_ab = (E₁G₁ + E₂G₂) / (G₁ + G₂ + G₃) = (6 + 2) / 1 = 8 В.

Токи ветвей (положительное направление - к узлу a в ветвях источников, от a к b в нагрузке):

• I₁ = (E₁ - U_ab) / R₁ = (12 - 8) / 2 = 2 А;
• I₂ = (E₂ - U_ab) / R₂ = (6 - 8) / 3 ≈ -0,667 А;
• I₃ = U_ab / R₃ = 8 / 6 ≈ 1,333 А.

Знак "минус" у I₂ означает, что ток во второй ветви течет против ЭДС E₂: второй источник работает в режиме потребителя (например, заряжается). Проверка по первому закону Кирхгофа: I₁ + I₂ = 2 - 0,667 = 1,333 А = I₃.

Решение методом контурных токов

Выберем два контура с обходом по часовой стрелке: левый (ветви 1 и 3) с током I₁₁ и правый (ветви 3 и 2) с током I₂₂. Собственные сопротивления: R₁₁ = R₁ + R₃ = 8 Ом, R₂₂ = R₂ + R₃ = 9 Ом, взаимное R₁₂ = -6 Ом. Контурные ЭДС: E₁₁ = 12 В (совпадает с обходом), E₂₂ = -6 В (направлена против обхода).

8I₁₁ - 6I₂₂ = 12
-6I₁₁ + 9I₂₂ = -6

Решение: I₂₂ ≈ 0,667 А, I₁₁ = 2 А. Токи ветвей: I₁ = I₁₁ = 2 А, I₃ = I₁₁ - I₂₂ ≈ 1,333 А, ток второй ветви по модулю 0,667 А и направлен против E₂. Результаты обоих методов совпадают.

Проверка баланса мощностей

Мощность источников: E₁I₁ + E₂I₂ = 12 · 2 + 6 · (-0,667) = 24 - 4 = 20 Вт.

Мощность приемников: I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ = 8 + 1,333 + 10,667 = 20 Вт. Баланс сходится, задача решена верно.

Законы Ома и Кирхгофа для переменного тока

Для синусоидального тока i = I_m sin(ωt + ψ) используют действующие значения I = I_m/√2 и U = U_m/√2, а также комплексный (символический) метод, в котором все методы расчета цепей постоянного тока сохраняются с заменой R на комплексное сопротивление Z.

• Закон Ома для цепи переменного тока: I = U/Z.
• Активная мощность P = UI cos φ (Вт), реактивная Q = UI sin φ (вар), полная S = UI = √(P² + Q²) (В·А).
• Резонанс напряжений в последовательной цепи наступает при X_L = X_C, резонансная частота ω₀ = 1/√(LC); ток максимален, Z = R.
• Законы Кирхгофа выполняются для мгновенных и комплексных значений, но не для действующих значений: сумма действующих напряжений в общем случае не равна действующему значению суммарного напряжения.

Полный набор тем курса, включая трехфазные цепи и электронику, есть в шпаргалках по электротехнике и электронике, а практическое применение законов в автомобильных схемах разобрано в материалах по электрооборудованию.

Вопросы и ответы по законам Ома и Кирхгофа

Чем закон Ома для участка цепи отличается от закона Ома для полной цепи?

Закон для участка связывает ток с напряжением на этом участке и его сопротивлением. Закон для полной цепи связывает ток с ЭДС источника и учитывает внутреннее сопротивление источника: I = E/(R + r).

Что делать, если при расчете ток получился отрицательным?

Ничего исправлять не нужно. Отрицательный знак означает, что действительное направление тока противоположно выбранному условно. В ответе указывают модуль тока и фактическое направление.

Сколько уравнений нужно составить по законам Кирхгофа?

Всего столько, сколько неизвестных токов ветвей. По первому закону составляют на одно меньше числа узлов, остальные уравнения - по второму закону для независимых контуров.

Когда выгоднее метод узловых потенциалов, а когда метод контурных токов?

Сравнивают число уравнений: у метода узловых потенциалов их n_у - 1, у метода контурных токов n_в - n_у + 1. Выбирают метод с меньшим числом уравнений; для схемы с двумя узлами оптимален метод двух узлов.

Почему при коротком замыкании ток не бесконечен?

Его ограничивает внутреннее сопротивление источника и сопротивление проводов: I_кз = E/r. У мощных источников r мало, поэтому ток короткого замыкания очень велик и цепь защищают предохранителями и автоматическими выключателями.

На каком физическом законе основан первый закон Кирхгофа?

На законе сохранения электрического заряда: в узле заряд не накапливается и не исчезает, поэтому сколько заряда втекает за единицу времени, столько и вытекает.